# 类型推断算法

[![badge](https://img.shields.io/endpoint.svg?url=https%3A%2F%2Fgezf7g7pd5.execute-api.ap-northeast-1.amazonaws.com%2Fdefault%2Fsource_up_to_date%3Fowner%3Derg-lang%26repos%3Derg%26ref%3Dmain%26path%3Ddoc/EN/compiler/inference.md%26commit_hash%3D00350f64a40b12f763a605bc16748d09379ab182)](https://gezf7g7pd5.execute-api.ap-northeast-1.amazonaws.com/default/source_up_to_date?owner=erg-lang&repos=erg&ref=main&path=doc/EN/compiler/inference.md&commit_hash=00350f64a40b12f763a605bc16748d09379ab182)

> __Warning__: 此部分正在编辑中，可能包含一些错误

显示了下面使用的符号

```python
Free type variables (type, unbound): ?T, ?U, ...
Free-type variables (values, unbound): ?a, ?b, ...
type environment (Γ): { x: T, ... }
Type assignment rule (S): { ?T --> T, ... }
Type argument evaluation environment (E): { e -> e', ... }
```

我们以下面的代码为例: 

```python
v = ![]
v.push! 1
print! v
```

Erg 的类型推断主要使用 Hindley-Milner 类型推断算法(尽管已经进行了各种扩展)。具体而言，类型推断是通过以下过程执行的。术语将在后面解释

1. 推断右值的类型(搜索)
2. 实例化结果类型
3. 如果是调用，执行类型替换(substitute)
4. 解决已经单态化的Trait
5. 如果有类型变量值，求值/归约(eval)
6. 删除链接类型变量(deref)
7. 传播可变依赖方法的变化
8. 如果有左值并且是Callable，则泛化参数类型(generalize)
9. 如果有左值，对(返回值)类型进行泛化(generalize)
10. 如果是赋值，则在符号表(`Context`)中注册类型信息(更新)

具体操作如下

第 1 行。Def{sig: v, block: ![]}
    获取块类型: 
        获取 UnaryOp 类型: 
            getArray 类型: `['T; 0]`
            实例化: `[?T; 0]`
            (替代，评估被省略)
    更新: `Γ: {v: [?T; 0]！}`
    表达式 返回`NoneType`: OK

第 2 行 CallMethod {obj: v, name: push!, args: [1]}
    获取 obj 类型: `Array!(?T, 0)`
        搜索: `Γ Array!(?T, 0).push!({1})`
        得到: `= Array!('T ~> 'T, 'N ~> 'N+1).push!('T) => NoneType`
        实例化: `Array!(?T, ?N).push!(?T) => NoneType`
        替代(`S: {?T --> Nat, ?N --> 0}`): `Array!(Nat ~> Nat, 0 ~> 0+1).push!(Nat) => NoneType`
        评估: `Array!(Nat, 0 ~> 1).push!({1}) => NoneType`
        更新: `Γ: {v: [Nat; 1]！}`
    表达式 返回`NoneType`: OK

第 3 行。调用 {obj: print!, args: [v]}
    获取参数类型: `[[Nat; 1]!]`
    获取 obj 类型: 
        搜索: `Γ print!([Nat; 1]!)`
        得到: `= print!(...Object) => NoneType`
    表达式 返回`NoneType`: OK

## 类型变量的实现

类型变量最初在 [ty.rs] 的 `Type` 中表示如下。它现在以不同的方式实现，但本质上是相同的想法，所以我将以更天真的方式考虑这种实现
`RcCell<T>` 是 `Rc<RefCell<T>>` 的包装类型

```rust
pub enum Type {
    ...
    Var(RcCell<Option<Type>>), // a reference to the type of other expression, see docs/compiler/inference.md
    ...
}
```

类型变量可以通过将实体类型保存在外部字典中来实现，并且类型变量本身只有它的键。但是，据说使用 `RcCell` 的实现通常更有效(需要验证，[来源](https://mobile.twitter.com/bd_gfngfn/status/1296719625086877696?s=21))

类型变量首先被初始化为 `Type::Var(RcCell::new(None))`
当分析代码并确定类型时，会重写此类型变量
如果内容直到最后都保持为 None ，它将是一个无法确定为具体类型的类型变量(当场)。例如，具有 `id x = x` 的 `x` 类型
我将这种状态下的类型变量称为 __Unbound 类型变量__(我不知道确切的术语)。另一方面，我们将分配了某种具体类型的变量称为 __Linked 类型变量__

两者都是自由类型变量(该术语显然以"自由变量"命名)。这些是编译器用于推理的类型变量。它之所以有这样一个特殊的名字，是因为它不同于程序员指定类型的类型变量，例如 `id: 'T -> 'T` 中的 `'T`

未绑定类型变量表示为`?T`、`?U`。在类型论的上下文中，经常使用 α 和 β，但这一种是用来简化输入的
请注意，这是出于一般讨论目的而采用的表示法，实际上并未使用字符串标识符实现

进入类型环境时，未绑定的类型变量 `Type::Var` 被替换为 `Type::MonoQuantVar`。这称为 __quantified 类型变量__。这类似于程序员指定的类型变量，例如"T"。内容只是一个字符串，并没有像自由类型变量那样链接到具体类型的工具

用量化类型变量替换未绑定类型变量的操作称为__generalization__(或泛化)。如果将其保留为未绑定类型变量，则类型将通过一次调用固定(例如，调用 `id True` 后，`id 1` 的返回类型将是 `Bool`)，所以它必须是概括的
以这种方式，在类型环境中注册了包含量化类型变量的通用定义

## 概括、类型方案、具体化

让我们将未绑定类型变量 `?T` 泛化为 `gen` 的操作表示。令生成的广义类型变量为 `|T: Type| T`
在类型论中，量化类型，例如多相关类型 `α->α`，通过在它们前面加上 `∀α.` 来区分(像 ∀ 这样的符号称为(通用)量词。)
这样的表示(例如`∀α.α->α`)称为类型方案。Erg 中的类型方案表示为 `|T: Type| T -> T`
类型方案通常不被认为是一流的类型。以这种方式配置类型系统可以防止类型推断起作用。但是，在Erg中，在一定条件下可以算是一流的类型。有关详细信息，请参阅 [rank2 类型](../syntax/type/advanced/_rank2type.md)

现在，当在使用它的类型推断(例如，`id 1`，`id True`)中使用获得的类型方案(例如`'T -> 'T(id's type scheme)`)时，必须释放generalize。这种逆变换称为 __instantiation__。我们将调用操作`inst`

```python
gen ?T = 'T
inst 'T = ?T (?T ∉ Γ)
```

重要的是，这两个操作都替换了所有出现的类型变量。例如，如果你实例化 `'T -> 'T`，你会得到 `?T -> ?T`
实例化需要替换 dict，但为了泛化，只需将 `?T` 与 `'T` 链接以替换它

之后，给出参数的类型以获取目标类型。此操作称为类型替换，将用 `subst` 表示
此外，如果表达式是调用，则获取返回类型的操作表示为 `subst_call_ret`。第一个参数是参数类型列表，第二个参数是要分配的类型

类型替换规则 `{?T --> X}` 意味着将 `?T` 和 `X` 重写为相同类型。此操作称为 __Unification__。`X` 也可以是类型变量
[单独部分] 中描述了详细的统一算法。我们将统一操作表示为"统一"

```python
unify(?T, Int) == Ok(()) # ?T == (Int)

# S为类型分配规则，T为适用类型
subst(S: {?T --> X}, T: ?T -> ?T) == X -> X
# Type assignment rules are {?T --> X, ?U --> T}
subst_call_ret([X, Y], (?T, ?U) -> ?U) == Y
```

## 半统一(semi-unification)

统一的一种变体称为半统一(__Semi-unification__)。这是更新类型变量约束以满足子类型关系的操作
在某些情况下，类型变量可能是统一的，也可能不是统一的，因此称为"半"统一

例如，在参数分配期间会发生半统一
因为实际参数的类型必须是形式参数类型的子类型
如果参数类型是类型变量，我们需要更新子类型关系以满足它

```python
# 如果形参类型是T
f(x: T): T = ...

a: U
# 必须为 U <: T，否则类型错误
f(a)
```

## 泛化

泛化不是一项简单的任务。当涉及多个作用域时，类型变量的"级别管理"就变得很有必要了
为了看到层级管理的必要性，我们首先确认没有层级管理的类型推断会导致问题
推断以下匿名函数的类型

```python
x ->
    y = x
    y
```

首先，Erg 分配类型变量如下: 
y 的类型也是未知的，但暂时未分配

```python
x(: ?T) ->
    y = x
    y
```

首先要确定的是右值 x 的类型。右值是一种"用途"，因此我们将其具体化
但是 x 的类型 `?T` 已经被实例化了，因为它是一个自由变量。Yo`?T` 成为右值的类型

```python
x(: ?T) ->
    y = x (: inst ?T)
    y
```

注册为左值 y 的类型时进行泛化。然而，正如我们稍后将看到的，这种概括是不完善的，并且会产生错误的结果

```python
x(: ?T) ->
    y(:gen?T) = x(:?T)
    y
```

```python
x(: ?T) ->
    y(: 'T) = x
    y
```

y 的类型现在是一个量化类型变量"T"。在下一行中，立即使用 `y`。具体的

```python
x: ?T ->
    y(: 'T) = x
    y(: inst 'T)
```

请注意，实例化必须创建一个与任何已经存在的(自由)类型变量不同的(自由)类型变量(概括类似)。这样的类型变量称为新类型变量

```python
x: ?T ->
    y = x
    y(: ?U)
```

并查看生成的整个表达式的类型。`?T -> ?U`
但显然这个表达式应该是`?T -> ?T`，所以我们知道推理有问题
发生这种情况是因为我们没有"级别管理"类型变量

所以我们用下面的符号来介绍类型变量的层次。级别表示为自然数

```python
# 普通类型变量
?T<1>, ?T<2>, ...
# 具有子类型约束的类型变量
?T<1>(<:U) or ?T(<:U)<1>, ...
```

让我们再尝试一次: 

```python
x ->
    y = x
    y
```

首先，按如下方式分配一个 leveled 类型变量:  toplevel 级别为 1。随着范围的加深，级别增加
函数参数属于内部范围，因此它们比函数本身高一级

```python
# level 1
x (: ?T<2>) ->
    # level 2
    y = x
    y
```

首先，实例化右值`x`。和以前一样，没有任何改变

```python
x (: ?T<2>) ->
    y = x (: inst ?T<2>)
    y
```

这是关键。这是分配给左值`y`的类型时的概括
早些时候，这里的结果很奇怪，所以我们将改变泛化算法
如果类型变量的级别小于或等于当前范围的级别，则泛化使其保持不变

```python
gen ?T<n> = if n <= current_level, then= ?T<n>, else= 'T
```

```python
x (: ?T<2>) ->
    # current_level = 2
    y(: gen ?T<2>) = x(: ?T<2>)
    y
```

That is, the lvalue `y` has type `?T<2>`.

```python
x (: ?T<2>) ->
    # ↓ 不包括
    y(: ?T<2>) = x
    y
```

y 的类型现在是一个未绑定的类型变量 `?T<2>`。具体如下几行: 但是 `y` 的类型没有被概括，所以什么也没有发生

```python
x (: ?T<2>) ->
    y(: ?T<2>) = x
    y (: inst ?T<2>)
```

```python
x (: ?T<2>) ->
    y = x
    y (: ?T<2>)
```

我们成功获得了正确的类型`?T<2> -> ?T<2>`

让我们看另一个例子。这是更一般的情况，具有函数/运算符应用程序和前向引用

```python
fx, y = id(x) + y
id x = x

f10,1
```

让我们逐行浏览它

在 `f` 的推断过程中，会引用后面定义的函数常量 `id`
在这种情况下，在 `f` 之前插入一个假设的 `id` 声明，并为其分配一个自由类型变量
注意此时类型变量的级别是`current_level`。这是为了避免在其他函数中泛化

```python
id: ?T<1> -> ?U<1>
f x (: ?V<2>), y (: ?W<2>) =
    id(x) (: subst_call_ret([inst ?V<2>], inst ?T<1> -> ?U<1>)) + y
```

类型变量之间的统一将高级类型变量替换为低级类型变量
如果级别相同，则无所谓

类型变量之间的半统一有点不同
不同级别的类型变量不得相互施加类型约束

```python
# BAD
f x (: ?V<2>), y (: ?W<2>) =
    # ?V<2>(<: ?T<1>)
    # ?T<1>(:> ?V<2>)
    id(x) (: ?U<1>) + y (: ?W<2>)
```

这使得无法确定在何处实例化类型变量
对于 Type 类型变量，执行正常统一而不是半统一
也就是说，统一到下层

```python
# OK
f x (: ?V<2>), y (: ?W<2>) =
    # ?V<2> --> ?T<1>
    id(x) (: ?U<1>) + y (: ?W<2>)
```

```python
f x (: ?T<1>), y (: ?W<2>) =
    (id(x) + x): subst_call_ret([inst ?U<1>, inst ?W<2>], inst |'L <: Add('R)| ('L, 'R) -> 'L .AddO)
```

```python
f x (: ?T<1>), y (: ?W<2>) =
    (id(x) + x): subst_call_ret([inst ?U<1>, inst ?W<2>], (?L(<: Add(?R<2>))<2>, ?R<2 >) -> ?L<2>.AddO)
```

```python
id: ?T<1> -> ?U<1>
f x (: ?T<1>), y (: ?W<2>) =
    # ?U<1>(<: Add(?W<2>)) # Inherit the constraints of ?L
    # ?L<2> --> ?U<1>
    # ?R<2> --> ?W<2> (not ?R(:> ?W), ?W(<: ?R))
    (id(x) + x) (: ?U<1>.AddO)
```

```python
# current_level = 1
f(x, y) (: gen ?T<1>, gen ?W<2> -> gen ?U<1>.AddO) =
    id(x) + x
```

```python
id: ?T<1> -> ?U<1>
f(x, y) (: |'W: Type| (?T<1>, 'W) -> gen ?U<1>(<: Add(?W<2>)).AddO) =
    id(x) + x
```

```python
f(x, y) (: |'W: Type| (?T<1>, 'W) -> ?U<1>(<: Add(?W<2>)).AddO) =
    id(x) + x
```

定义时，提高层次，使其可以泛化

```python
# ?T<1 -> 2>
# ?U<1 -> 2>
id x (: ?T<2>) -> ?U<2> = x (: inst ?T<2>)
```

如果已经分配了返回类型，则与结果类型统一(`?U<2> --> ?T<2>`)

```python
# ?U<2> --> ?T<2>
f(x, y) (: |'W: Type| (?T<2>, 'W) -> ?T<2>(<: Add(?W<2>)).AddO) =
    id(x) + x
# current_level = 1
id(x) (: gen ?T<2> -> gen ?T<2>) = x (: ?T<2>)
```

如果类型变量已经被实例化为一个简单的类型变量，
依赖于它的类型变量也将是一个 Type 类型变量
广义类型变量对于每个函数都是独立的

```python
f(x, y) (: |'W: Type, 'T <: Add('W)| ('T, 'W) -> 'T.AddO) =
    id(x) + x
id(x) (: |'T: Type| 'T -> gen 'T) = x
```

```python
f x, y (: |'W: Type, 'T <: Add('W)| ('T, 'W) -> 'T.AddO) =
    id(x) + y
id(x) (: 'T -> 'T) = x

f(10, 1) (: subst_call_ret([inst {10}, inst {1}], inst |'W: Type, 'T <: Add('W)| ('T, 'W) -> 'T .AddO)
```

```python
f(10, 1) (: subst_call_ret([inst {10}, inst {1}], (?T<1>(<: Add(?W<1>)), ?W<1>) -> ? T<1>.AddO))
```

类型变量绑定到具有实现的最小类型

```python
# ?T(:> {10} <: Add(?W<1>))<1>
# ?W(:> {1})<1>
# ?W(:> {1})<1> <: ?T<1> (:> {10}, <: Add(?W(:> {1})<1>))
# serialize
# {1} <: ?W<1> or {10} <: ?T<1> <: Add({1}) <: Add(?W<1>)
# Add(?W)(:> ?V) 的最小实现Trait是 Add(Nat) == Nat，因为 Add 相对于第一个参数是协变的
# {10} <: ?W<1> or {1} <: ?T<1> <: Add(?W<1>) <: Add(Nat) == Nat
# ?T(:> ?W(:> {10}) or {1}, <: Nat).AddO == Nat # 如果只有一个候选人，完成评估
f(10, 1) (: (?W(:> {10}, <: Nat), ?W(:> {1})) -> Nat)
# 程序到此结束，所以去掉类型变量
f(10, 1) (: ({10}, {1}) -> Nat)
```

整个程序的结果类型是: 

```python
f|W: Type, T <: Add(W)|(x: T, y: W): T.AddO = id(x) + y
id|T: Type|(x: T): T = x

f(10, 1): Nat
```

我还重印了原始的、未明确键入的程序

```python
fx, y = id(x) + y
id x = x

f(10, 1)
```